DETERMINAN MATRIKS:
Syarat suatu matriks
dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks
persegi
a. Determinan
Matriks Ordo 2 × 2
Misalkan
A = adalah matriks yang berordo 2 × 2
dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c
terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A|
adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen
pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.
Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.
det
A = = ad – bc
Contoh
Soal 1 :
Tentukan
determinan matriks-matriks berikut.
a. A = b. B =
Penyelesaian
:
a.
det A = = (5 × 3) – (2 × 4) = 7
b.
det B = = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5
b. Determinan
Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)
Jika A = adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A dinyatakan dengan det A =
Ada
2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3,
yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.
Aturan
Sarrus
Untuk
menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya,
kita akan menghitung determinan matriks A3 × 3. Gambaran
perhitungannya adalah sebagai berikut.
Metode
Minor-Kofaktor
Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A3 × 3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :
Akan
diperoleh M21 = . M21 adalah
minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M21 =
minor a21. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang
lain, misalnya :
M13 =
Kofaktor
elemen aij, dinotasikan Kij adalah hasil kali (–1)i+j dengan
minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan
dengan :
Kij =
(–1)i+j Mij
Dari
matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan
a13 berturut-turut adalah
K21 =
(–1)2+1 M21 = –M21 =
K13 =
(–1)1+3 M13 = M13 =
Kofaktor
dari matriks A3 × 3 adalah kof(A) =
Nilai
dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen
suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita
dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di
atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.
Misalkan diketahui matriks A =
Determinan
matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.
Kita
pilih baris pertama sehingga
det
A = a11 K11 + a12 K12 +
a13 K13
= a11 (–1)1+1 M11 +
a12 (–1)1+2 M12 + a13 (–1)1+3 M13
=
=
= a11(a22 a33 –
a32 a23) – a12(a21 a33 –
a31 a23) + a13(a21 a32 –
a31 a22)
= a11 a22 a33 –
a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 –
a13 a22 a31
= a11 a22 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 –
a13 a22 a31 – a11 a23 a32 –
a12 a21 a33
Tampak
bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor
hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.
Contoh
Soal 2 :
Tentukan
determinan dari matriks A = dengan aturan Sarrus dan
minor-kofaktor.
Penyelesaian
:
Cara
1: (Aturan Sarrus)
det A =
=
(1 × 1 × 2) + (2 × 4 × 3) + (3 × 2 × 1) – (3 × 1 × 3)
–
(1 × 4 × 1) – (2 × 2 × 2)
= 2
+ 24 + 6 – 9 – 4 – 8
=
11
Cara
2: (Minor-kofaktor)
Misalnya
kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh :
det
A =
=
–2 – 2(–8) + 3(–1)
=
–2 + 16 – 3 = 11
Coba
kalian selidiki nilai determinan ini dengan cara lain. Apakah hasilnya sama?
c. Sifat-Sifat
Determinan Matriks
Berikut
disajikan beberapa sifat determinan matriks
1.
Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan
matriks itu nol.
Misal
:
2.
Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen
baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal B = (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).
3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.
Misal
A = (Karena elemen-elemen baris ke-3
sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).
4.
|AB| = |A| ×|B|
5.
|AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.
6.
|A–1| = , untuk A–1 adalah
invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab
berikutnya).
7.
|kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas
tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di
jenjang yang lebih tinggi.
0 comments:
Post a Comment